永无止境的数字

π.Science 2020-04-28 156 次浏览 次点赞

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《数学大观念:从数字到微积分,全面理解数学的 12 大观念》,猫头鹰出版。

泛科学节选了《数学大观念》一书关于圆周率π的章节——永无止境的圆周率追寻之旅。

π 数知多少? 真有如滔滔江水,连绵不绝啊~

只要仔细测量,你便可以用实验的方法确定 π 稍微大于 3。但是自然而然浮现了两个问题:

  1. 你可否在不用任何实质测量的条件下,证明 π 是一个接近 3 的数?
  2. π 又是否能用一个简单的分数或是公式来表示?

第一个问题可以经由画一个半径为 1 的圆来回答,这个圆的面积是 π12=π。在下图中,我们画出一个边长为 2 的正方形,将这个圆完整的包在里面。由于这个圆的面积一定小于正方形的面积,这就证明了 π<4。

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图/《数学大观念》

另一方面,这个圆包含了一个六边形,它的六个角平均分布在圆周上。这个内接六边形的周长是多少呢?六边形可以分解成 6 个三角形,每个三角形都有一个 360º/6=60º 的圆心角,而且每个三角形中有两边是圆的半径(长度为 1),所以它们都是等腰三角形。根据等腰三角形定理,另外两个角有相同的角度,所以一定都是 60º。

因此,这些三角形都是边长为 1 的等边三角形。于是这个六边形的周长是 6,而它一定比圆周 2π 少一点。因此 6<2π,也就是 π>3。将这些结果放在一起,我们就会得到 3<π<4。

我们可以用具有更多个边的多边形来将 π 限缩在更小的区间中。举例来说,如果我们不用正方形,而是用一个六边形将单位圆包起来,就能证明 π<2√3=3.46……。

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这个六边形同样可以被细分成六个等边三角形,每一个三角形都可以再细分成两个全等的直角三角形。如果较短的直角边其长度为 x,那么斜边的长度就是 2x。根据勾股定理,x2+1=(2x)2,我们即可解出 x=1/√3。

由此可知,这个六边形的周长是 12/√3=4√3。而因为这个数大于这个圆的周长 2π,于是 π<2√3。(有趣的是,如果将这个圆与这个六边形两者的面积互相比较,我们也会得到相同的结论。)

根据这个结果,伟大的古希腊数学家阿基米得(公元前 287~212 年)进一步创造出 12、24、48 和 96 边的内接和外切多边形,并导出 3.14103<π<3.14271,以及一个更简单的不等式:3 又 10/71<π<3 又 1/7

分数啊,请为我找到 π 吧!

用分数逼近 π 有很多简单的方式,比方说:314/100=3.14、22/7=3.142857、355/113=3.14159292……。

我特别喜欢最后一个逼近式,因为它不只正确产生小数点后的前六位数,也把最初三个奇数各用上两次:依序是两个 1、两个 3 和两个 5!

当然,若能找出一个刚好等于 π 的分数会很有趣。(其中分子和分母都是整数,否则我们可以直接用 π=x/1。)不过,朗伯(Johann Heinrich Lambert)在 1768 年证明了 π 是一个无理数,也就证明了上述的尝试徒劳无功。

或许 π 可以用某个简单数目的平方根或立方根来表示?举例来说,√10=3.162…已经相当接近了。

但是在 1882年,林德曼(Ferdinand von Lindemann)证明了 π 不只是无理数,还是一个超越数。也就是说,π 不是任何一个整系数多项式的根。举例来说,√2 是一个无理数,但它并不是一个超越数,因为 √2 是多项式 x2−2 的根。

虽然 π 并不能用一个分数来表示,却能表示成无穷多个分数的总和或乘积!举例来说,我们在第十二章会看到:π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11…)

这个公式不仅美丽,也相当惊人,但在计算 π 的众多公式中,它并不算是非常实用的一个。算了 300 项之后,我们仍旧不会得到比 22/7 更逼近 π 的数值。下面是另一个惊人的公式,我们称之为沃利斯公式,它以一个无穷乘积来计算 π,不过同样需要花很长的时间来收敛。

π=4(2/3×4/3×4/5×6/5×6/7×8/7×8/9…)=4(1-1/9)(1-1/25)(1-1/49)(1-1/81)…

躺着背、坐着背、趴着背,还是 π 最好背!

由于大家都为 π 所著迷(一部分是为了测试超级计算机的速度和准确性),所以 π 曾经被算到几兆位数。当然,其实我们并不需要这种精确度,只要知道 π 的前四十位数,你就可以测量出已知宇宙的周长,误差不超过氢原子的半径!

π 这个数已经发展到近乎让人狂热崇拜的地步了。许多人喜欢在「π 日」(3 月 14 日,用数字来呈现就是 3/14,刚好也是爱因斯坦的生日)赞颂 π。

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在这一天,典型的活动可能包含展示和食用以数学为装饰主题的派、打扮成爱因斯坦的样子,当然也少不了 π 的记忆大赛。参赛的学生一般都可以记住 π 的几十位数,但通常赢家都是那些记得超过一百位数的人。

对了,目前记忆 π 的世界纪录是吕超这位中国人,他曾在 2005 年背诵出了 π 的 67,890 位数!根据《金氏世界纪录》,吕超花了四年才记住这么多位数,他也花了整整一天多的时间才将这些位数统统背诵出来。我们来看看 π 的前一百位数:

π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067 …

经过这么多年,人们早已想出一些背诵圆周率的妙方,其中之一就是创造特殊的英文句子,让句子里每个单字所包含的字母数代表 π 的下一位数。一些著名的例子包括:

「How I wish I could calculate pi.」(得到七位数:3.141592)
「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」(提供了十五位数)

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(译注:而在中文里,有人用谐音的方式将圆周率藏在诗句中,其中最著名的是〈山巅〉这首五言绝句:「一寺一壶酒,二柳舞扇舞,把酒弃旧山,恶善百世流。」连题目共得到二十一位数:3.14159265358979323846。)

最令人佩服的例子出现在 1995 年,凯斯(Mike Keith)利用爱伦坡一首鬼斧神工的打油诗〈乌鸦〉创造出记住 740 位数的方法。这首诗的标题和第一节加起来就能产生出 42 位数,其中由十个字母组成的单字对应数字 0。

Poe, E. Near a Raven(译注:对应 3.1415,以下依此类推)
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap−the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.
“This,” I whispered quietly, “I ignore.”

凯斯随后将这首巨作继续延伸,写出一首藏有 3835 位数的诗,题为〈Cadaeic Cadenza〉。(请注意,如果你用数字 3 代替字母 C、用 1 代替 A、用 4 代替 D……,那么「cadaeic」这个字就会变成 3141593。)这首诗的开头取材自〈乌鸦〉,但也包含了一些数字作品评论以及模仿其他诗词的部分,比如说卡罗(Lewis Carroll)的诗作〈无聊〉(Jabberwocky)也在其中。

凯斯在这方面最新的贡献是出版了一本书,书名是「Not a Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully for 10000 Decimals.」(请注意此书标题中每个单字的字母数!)这种用字母数来记忆 π 的方法有一个很大的问题,那就是即使你能记住这些句子、诗词和故事,要立刻判断出每个单字有多少字母也并非一件简单的事。

关于这点,我喜欢的说法是:「多么希望能跟大家解释,其实通常有更好的记忆法可用。」( 「How I wish I could elucidate to others. There are often superior mnemonics!」这句话产生出13位数。)

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《Not a Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully for 10000 Decimals.》

来点音码巧思,让数字成为你朋友

要记住许多数字,我最喜欢用的方法是一种名为主要系统的音码。在这套音码中,每个数字都用一个或多个子音来表示。更具体地说:

1=t 或d
2=n
3=m
4=r
5=l
6=j、ch 或 sh
7=k 或硬 g 音
8=f 或 v
9=p 或 b
0=s 或 z

甚至还有人发明了帮你记住这套记忆系统的记忆法呢!我的朋友马洛斯科维普(Tony Marloshkovips)提供了下列建议:字母 t(或发音相似的 d)中藏有一条直线;n 有两条;m 有三条;而爱地球就别忘了环保 4R。伸出 5 根手指头,你就会在拇指和食指之间看到 L;将 6 倒过来,看起来就很像字母 j;而两个 7 可以组成一个K。(微软系统)开机时按下 F8 能进入安全模式;将 9 左右或上下翻转,就能得到 p 或 b。最后,ZO 就是 0 输出的意思。

或者你也可以将这些子音统统照顺序排好,形成TNMRLShKVPS,然后就会得到一个我(想象中的)朋友的名字:

Tony Marloshkovips

我们只要在每个相连的子音中插入元音,就能利用这套音码让数字变成文字。举例来说,31 用到的子音有 m 和 t(或是 m 和 d),因此这个数字可以转化成如下一些单字:

31 = mate, mute, mud, mad, maid, mitt, might, omit, muddy

请注意,像是「muddy」或是「mitt」这样的单字是可以被接受的,因为 d 和 t 听起来像是只出现一次,拼法也不会造成任何影响。此外,因为像是 h、w 和 y 这样的子音并没有出现在上表中,所以这些字母也能像元音一样自由使用。因此我们可以将 31 转化成像是「humid」或是「midway」这样的单字。请注意,虽然同一个数字通常可以对应许多不同的单字,但是一个单字只能表示唯一的数字。

π 的前三个位数包含子音 m、t 和 r,这三位数可以转换成如下一些单字:314 = meter, motor, metro, mutter, meteor, midyear, amateur;前五个位数 31415 可以变成「my turtle」这个词。若再继续延伸至 π 的前二十四位数,314159265358979323846264 就可以变成:

My turtle Pancho will, my love, pick up my new mover Ginger

然后将接下来的十七位数 33832795028841971 变成:My movie monkey plays in a favorite bucket;我很喜欢接下来的十九位数:6939937510582097494,因为它们可以对应一些较长的单字:Ship my puppy Michael to Sullivan’s backrubber;而下面十八个位数 459230781640628620 可以带给我们这句话:A really open music video cheers Jenny F. Jones;然后再接下来的二十二位数 8998628034825342117067 则是:Have a baby fish knife so Marvin will marinate the goose chick!

于是,我们就将圆周率的前一百位数悄悄藏在这五个傻里傻气的句子中了!音码对于记忆日期、电话号码、信用卡号等长串数字都相当有用。试试看,只要稍加练习,你就能大大增强记住许多数字的能力了。

π 还是 τ?今天要算哪一道?请选择!

π 是数学中最重要的数之一,这一点所有的数学家都会认同。但是如果你看看那些用到 π 的公式,你会发现它们大多会将 π 乘上 2。我们用希腊字母 τ(发音类似「陶」)来代表这个数。

τ = 2π

许多人相信如果我们能回到过去,就能因为用 τ 取代 π,而让许多数学公式以及三角学中的关键概念变得比较简单。在一些文章中,比如说帕莱(Bob Palais)的〈 π 是错误的!〉以及哈特尔(Michael Hartl)的〈 τ 的宣言〉,作者都优雅又饶富趣味地表达过这个想法。

这个论述的「中心点」在于圆都是由半径来定义的,当我们将圆周和半径相比的时候,就会得到 C/r=2π = τ。有些教科书现在会标示「兼容 τ」来表示这本书同时用 π 和 τ 来写出公式。(虽然全面改用 τ 不会是轻松的过程,但许多学生和老师都认为使用 τ 会比 π 更轻松。)观察这项行动在未来数十年会演变成什么样子是相当有趣的。

τ 的支持者(他们自称为陶帮)诚挚地相信真理站在他们那边,但他们也能包容比较传统的符号。如同他们所说的,陶帮绝非顽固不化。下面是 τ 的前一百位数,其中插入了一些空格,对应我们随后会提到的记忆法。请注意,τ 的开头是 6,接着是 28,这两个数目都是第六章提过的「完全数」。这是个巧合吗?当然啰!不过还算是个有趣的花絮啦。

τ = 6.283185 30717958 64769252 867665 5900576 839433 8798750211641949 8891846 15632 812572417 99725606 9650684 234135 ⋯

2012 年,当时才十三岁的布朗(Ethan Brown)缔造了一项世界纪录。为了一个募款计划,他背出了 τ 的 2012 位数。他也是利用音码,但并非创造出长句,而是创造出视觉图像。每个画面都包括了一个主体、一个动作(结尾永远是现在进行式的 -ing)和一个当作受词的物体。例如 τ 的前七位数:62 831 85 就变成「An ocean vomiting a waffle」(大海吐出一块松饼)。下面是他为 τ 的前一百位数所创造出来的画面:

An ocean vomiting a waffle
A mask tugging on a bailiff
A shark chopping nylon
Fudge coaching a cello
Elbows selling a couch
Foam burying a mummy
Fog paving glass
A handout shredding a prop
FIFA beautifying the Irish
A doll shooing a minnow
A photon looking neurotic
A puppy acknowledging the sewage
A peach losing its chauffeur
Honey marrying oatmeal

为了更容易记住这些画面,布朗采用记忆宫殿这个方法。他想象自己在学校中游荡,当他沿着某条走廊前进并进入一间间的教室,每间教室里都会有三到五个主体做着一些蠢事。最后,他得到了分布在 60 个地方的 272 个图像。花了四个月准备之后,他用了 73 分钟背诵出那 2012 位数。

来首余韵无穷的 π 之歌吧!

让我们用一首赞颂 π 的乐曲来结束这一章吧。这是我根据雷斯(Larry Lesser)的模仿歌曲〈美国 π〉(American Pi)所写的一段新歌词(译着:雷斯所模仿的对象是〈American Pie〉这首经典歌曲)。这首歌你应该只唱一次就好,因为 π 是不会自我重复的。

很久,很久以前,
我还记得数学课总是让我打瞌睡。
因为我们碰上的每一个数,
不是有终点就是一直重复。
但或许这世上其实有更厉害的数

但后来我的老师说:「给你一个挑战,
试着找出圆的面积。」
虽然我尝试无数,
我还是找不出一个分数。

我不记得我是不是哭了,
愈是尝试或限制范围,
但在我心深处有个东西触动了我
就在这一天我认识了 π!

π 啊 π,数学上的 π,
两个十一除以七是个不错的尝试。
你或许希望能提出一个美好的分数
但它的小数展开永不止息,
小数展开永不止息。

π 啊 π,数学上的 π,
3.141592653589。
你或许希望能用一个美好的分数来定义它,
但是小数展开永不止息!


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