搬沙发扯到的数学问题

π.Science 2021-03-18 9 次浏览 次点赞

1966年,加拿大数学家里奥·莫泽(Leo Moser)提出了一个问题:What is the region of smallest area which will accommodate every planar arc of length one?可以描述为:

在单位宽度的走廊中,可围绕直角移动的最大面积的平面形状是什么?适应转角的最大沙发也被称为“沙发常数”(sofa constant),其数值等于沙发最大的横截面积。

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这个Moser's worm problem在离散几何中仍然是一个开放问题。

简单起见,先从正方形入手。这个形状的沙发常数为1。

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半圆形,沙发常数为1.57,也就是圆周率的一半。

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数学家 John Hammersley 就提出了一个更像沙发的沙发。

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沙发常数就变成了

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1992 年由 Joseph Gerver 提出了一共由 18 段曲线构成的沙发形状,其沙发常数达到了2.2195。

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其中 V, XIII 和 XVIII 三段是线段, I, VI, XII, 和 XVII 是圆弧, II, III, VII, XI, XV 和 XVI 是圆的渐开线, IV 和 XIV 是圆的渐开线的渐开线。不过,他依旧没法证明得到的这个沙发曲线是最优的沙发曲线。

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Gerver沙发是寻找到的最优解,但他表示最完美的沙发系数应该是在2.2195~2.37之间。每条曲线段由一个单独的解析表达式描述。

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加州大学戴维斯分校数学系教授Dan Romik公布了这个问题的一个变体,称为“左右手沙发”。

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沙发系数≈1.644955218425440。

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前往Dan Romik的主页,不仅详细地介绍了沙发问题的历史,还有他自己制作的关于沙发问题的科普视频,他也把为了研究方便用来 3D 打印各种沙发的工程文件挂在了主页上。还可以查看他收集的沙发问题参考资料。


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